Waarom gelijke ingang en uitgang impedanties?

We leren het al vroeg tijdens ons elektronica onderwijs. En ook in het cursusmateriaal voor radioamateurs wordt er veel aandacht aan besteed. De impedantie van een uitgangscircuit moet gelijk zijn aan de impedantie van het daarop aangesloten ingangscircuit. Of dat circuit nu daadwerkelijk een elektronische schakeling is, of slechts een kabel. Dat maakt voor het verhaal geen verschil. Maar waarom zijn die gelijke ingang en uitgang impedanties zo belangrijk? Kunnen we dat op de een of andere manier onderbouwen?

Het uitgangspunt

We tekenen eerst even een vervangingsschema van ingang en uitgang op elkaar aangesloten. Dat staat hiernaast gegeven. Daarin links de spanningsbron (Uuit) met interne weerstand (Ruit) van het uitgangscircuit. En rechts de ingang van het daarop aangesloten circuit met interne weerstand (Rin). Zo zien we direct dat de beide weerstanden een serieschakeling vormen. Of meer specifiek, een spanningsdeler. Verder is van belang op te merken dat bijvoorbeeld de stroom door Rin verderop Iin wordt genoemd. En zo ook de spanning over Rin vervolgens Uin heet.

Ingang en uitgang moeten gelijke impedanties hebben

Schematische weergave van op elkaar aangesloten ingang en uitgang circuits

De oplettende lezer valt direct op dat we het ineens over “weerstand” hebben. Maar het ging toch om “impedanties“? Dat klopt! Echter, een impedantie kun je zien als een complexe weerstand. Eigenlijk is de impedantie de som van een reëel deel en een imaginair deel. En dat reële deel is de weerstand. Dit alles komt door frequentie afhankelijkheden. En dat gaat te ver om in deze discussie te betrekken. Maar voor onderstaande bewijsvoering maakt het niet uit dat we de impedantie vereenvoudigen tot alleen de ohmse weerstand.

Ons doel

Wat we nu willen berekenen is bij welke weerstandsverhouding een zo groot mogelijk vermogen door de ingang wordt opgenomen. Immers, een optimale vermogensoverdracht betekent een optimale aanpassing van de ontvangende ingang aan de sturende uitgang. En zo’n optimale aanpassing zorgt voor een minimum aan reflecties. Of eigenlijk zelfs helemaal geen reflecties. En dit alles willen we bereiken zonder te kiezen voor een bepaalde impedantie. We hebben het dus niet over 50 ohm of 75 ohm. Deze exercitie is van toepassing op alle mogelijke impedanties die op elkaar aangepast moeten worden.

De benodigde formules

Geen bewijs zonder formules. En de eerste ligt natuurlijk voor de hand. Dat is de formule om het vermogen te berekenen. Immers, we willen de optimale vermogensoverdracht bepalen.

De tweede formule is de overbekende wet van Ohm. Deze formule heb je eigenlijk zowat altijd nodig bij berekeningen met elektronica.

We willen de verhouding tussen de weerstanden van ingang en uitgang bepalen. Dus moeten we deze parameter definiëren. Dat doen we met formule 3. Hierin is variabele “x” het verhoudingsgetal.

Tenslotte formule 4. Deze is eigenlijk een formaliteit. In een serieschakeling zijn alle stromen gelijk. Daardoor kan de berekening al snel van vereenvoudigd worden.

Het berekenen van het vermogen

1e formule: Het berekenen van het vermogen

De overbekende wet van Ohm

2e formule: De overbekende wet van Ohm

3e Formule: “x” als verhouding tussen de weerstanden

In een serieschakeling zijn de stromen gelijk

4e formule: In een serieschakeling zijn de stromen gelijk

Jongleren met formules

Ons doel is dus het opgenomen vermogen in de weerstand van het ingangscircuit bepalen. En dat vermogen willen we zo groot mogelijk zien te krijgen. Dan heb je de gewenste optimale vermogensoverdracht te pakken. Maar we willen nergens een getalswaarde invullen. Alleen de verhouding van ingangsweerstand en uitgangsweerstand is voor ons interessant. Daarom proberen we de formule een bepaalde richting op te buigen. En die richting is zo dat we de verhouding “x” proberen te isoleren.

Hiernaast zie je stap voor stap waar we naartoe werken. Hierbij is de eerste stap het wegwerken van Uin. Immers, die weten we niet. Daarna proberen we I te elimineren. En daarvoor in de plaats krijgen we inderdaad variabelen die we wel weten. Dan de weerstanden proberen aan een kant van de formule bij elkaar te krijgen. Bij dit alles is slechts één handeling per weergegeven formule doorgevoerd. Zo kun je de uitvoering goed volgen. Maar in de praktijk zal een geoefend elektronicus vaak stappen combineren. En zo sneller tot het gewenste resultaat kunnen komen.

Vervolgens kunnen we de weerstandsverhouding introduceren. En daarmee proberen in het rechter deel van de formule die verhouding duidelijk te krijgen. Tenslotte halen we alles uit die verhouding wat we er niet in willen hebben. En dat schuiven we naar voren.

Het resultaat mag er wezen. Dat laat nu duidelijk zien waar het vermogen in de ingangsweerstand echt van afhankelijk is. Hierin aan de linkerkant een verhouding van Uuit en Ruit. En rechts alleen een ingewikkelde constructie rond verhoudingsgetal “x“. Dat is precies wat we willen weten.

Dus willen we een maximale vermogensontwikkeling in de ingangsweerstand krijgen. Dan moet die ingewikkelde constructie rond “x” een zo groot mogelijk getal produceren. Immers, die andere twee variabelen in de formule kunnen we niet beïnvloeden.

Berekening van het ingangsvermogen

Berekening van het ingangsvermogen

De functie maximaliseren

Die ingewikkelde constructie rond “x” nemen we even apart. En dat doen we door er een wiskundige functie van te maken. Maar daarmee wordt het niet duidelijker bij welke waarde van “x” dit een zo groot mogelijk getal produceert. We moeten de functie wat om schrijven. En dat doen we hiernaast.

Die “x” proberen we aan slechts één kant van de breukstreep te krijgen. En dat blijkt relatief eenvoudig. Daardoor zien we nu dat deze functie een zo groot mogelijk getal produceert wanneer dat wat onder de breukstreep staat een zo klein mogelijk getal is.

De weerstandsverhouding als functie

De weerstandsverhouding als functie

De deler minimaliseren

We maken van die deler een nieuwe functie. Dus let op, verwar deze nieuwe f(x) functie niet met de vorige. Hiernaast staat die nieuwe functie. En die moet dus een zo klein mogelijk getal produceren. Daarom maken we de functie gereed voor differentiëren.

De deler als nieuwe functie

De deler als nieuwe functie

Nulpunt bepaling

Uit de wiskunde weten we nog hoe een maximum of minimum van een functie te bepalen. Dan neem je de eerste afgeleide. En daar waar deze afgeleide nul is, veranderd de oorspronkelijke functie van stijgend naar dalend. Of vice versa natuurlijk. Met andere woorden, die eerste afgeleide is te beschouwen als de richtingscoëfficiënt van de oorspronkelijke functie. Dus we nemen de differentiaal en stelen deze gelijk aan nul. Dat wat daaruit komt moeten we verder oplossen.

Dit is precies wat we hiernaast doen. En daarbij zal de uitkomst niet verrassen. Immers, de stelling was dat ingang en uitgang gelijke weerstand (impedantie) moeten hebben. En bij “x=1” komen we uit op “Rin=Ruit“. Dus er is maximale vermogensoverdracht indien impedantie van ingang en uitgang exact gelijk zijn.

Differentiëren en verder oplossen

Differentiëren en verder oplossen

Puntjes op de i

Maar we moeten om compleet te zijn nog wel één puntje op de i zetten. Immers, we hebben een uitkomst te pakken. Maar is dat nu een maximum of een minimum? Daarom nog even “x=1” en bijvoorbeeld “x=2” of “x=0,9” invullen in de functie van de weerstandsverandering. En daar komt dan de definitieve bevestiging uit dat “x=1” het maximum is. Dus de stelling is hiermee waterdicht bewezen.

Slotwoord

De kans is groot dat het bovenstaande wat hoofdpijn bij de argeloze lezer heeft opgeleverd. Daarvoor mijn excuses. Echter, het eerste deel zou door iedere radio amateur goed te volgen moeten zijn. Wat daarna komt, de wiskunde met functies en differentiëren, is meer voor de liefhebber. Dat wil niet zeggen dat het niet voor radio amateurs is weggelegd. Immers, zelfontplooiing is een van de pijlers van onze radio hobby. Maar voel je niet beschaamd als je nog niet alles kunt volgen. Dat is slechts een kwestie van tijd.

Johan / PE1PUP

Ingang en uitgang, oren/ogen en mond, en de hersenen er tussen in om de boel te verwerken

Het effect dat wiskunde en bovenstaand artikel op heel veel mensen heeft